Propositions - Quantificateurs universel et existentiel

Définition

Une proposition est une phrase qui est soit vraie, soit fausse. 

Exemples

• La proposition « Une personne de 20 ans est majeure » est vraie.
  
• La proposition « Si une personne est française, alors elle est européenne » est vraie.
  
• La proposition « Tous les chats sont gris » est fausse puisqu'il existe des chats noirs par exemple. 
  
• La proposition « \(10\) est un entier pair » est vraie.
  
• La proposition « \(10\) est un entier impair » est fausse.
  
• La proposition « Un carré est un rectangle » est vraie.
  
• La proposition « Tout nombre premier est impair » est fausse car \(2\) est un nombre premier pair.
  
• La proposition « Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) » est vraie. C'est une identité remarquable.
  
• La proposition « Si un nombre est divisible par \(2\) et \(3\), alors il est divisible par \(6\) » est vraie.
  

Vocabulaire

Un quantificateur est une partie de phrase permettant d'annoncer combien de choses rendent une proposition vraie ou fausse. Autrement dit, il permet de préciser sur quoi porte une propriété.

On distingue deux types de quantificateurs :

• quantificateur universel : pour tout. Il permet d'annoncer qu'une proposition sera vraie pour tous les éléments considérés.
  « Pour tout ... » signifie « quel que soit ... / pour n'importe quel ... / tous les ... ».
• quantificateur existentiel : il existe. Il permet d'annoncer l'existence d'au moins un élément vérifiant la proposition.
  « Il existe ... » signifie en mathématiques « il existe au moins un ... ».
  

Exemples

1. La proposition « Quel que soit le Français choisi, il est européen » est vraie et contient un quantificateur universel : « Quel que soit ». Il permet d'annoncer que la proposition est vraie pour n'importe quelle personne française.
2. La proposition « Il existe un élève de ma classe qui porte des lunettes » contient un quantificateur existentiel : « Il existe ». Il permet d'annoncer qu'au moins une personne dans la classe porte des lunettes.
3. La proposition « Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) » contient un quantificateur universel : « Pour tous ». Il permet d'annoncer que, qu'importe le choix de \(a\) et \(b\) parmi les nombres réels, l'identité remarquable considérée est vraie.
4. La proposition « Il existe un entier pair supérieur à \(1~000\) » est vraie et contient un quantificateur existentiel : « Il existe ». Il permet d'annoncer qu'il existe au moins un entier vérifiant la proposition : \(1~002\) ou \(1~004\) par exemple.